頭獎 27 億、今晚開獎！買「威力彩」是合理的投資嗎？

昨天講到威力彩。我們實際來看如果把威力彩當作一種投資管道。那麼，這期威力彩一注 100 元的期望值有多少呢？是合理的投資嗎？

所有的威力彩號碼一共有 c（ 38,6 ）* 8 = 22,085,448 種

計算威力彩機率

中普獎的機率是（ 6 * C（ 30,2 ）／22,085,448 = 5.4708%
九獎機率是 C（ 6,3 ）* C（ 32,3 ）* 7 ／22,085,448 = 3.1441%
…中略
三獎的機率是 6 * 32 ／ 22,085,448 = 0.0008694%，再各自乘上每個獎的獎金（ 3 獎 4 獎超過 5,000 元，要扣 20% 的稅）之後加起來可以得出中三獎以下獎項的期望值= 20.54

威力彩期望值又是多少？

把銷售額 55% 的獎金，扣掉三獎以下獎金， 11% 給二獎， 89% 給頭獎，再由該期所有中該獎的人平分，如果該獎沒中就累積到下一期。台彩下期預估銷售額會到 17 億 5 千萬。（ 1,750 萬注）以這個數字來算， 2 獎的預期總獎金（上期有人中二獎，未累積）會是（ 17 億 5 千萬 * 0.55 – 1,750 萬 * 20.54 ）* 0.11 = 66,321,085。

二獎的中獎機率是 7 ／ 22,085,448 = 0.000317% ，預期中獎人數是 1,750 萬 * 0.000317%。預期 2 獎的稅後期望值是 0.8 * （ 66,321,085 * 0.000317% ）／（ 1,750 萬* 0.000317% ）= 3.03 （算式中分子和分母都會有中獎機率 0.000317% 所以其實會抵銷）

這期的總獎金會是 2,159,897,147 +（ 17 億 5 千萬* 0.55 – 1750 萬* 20.54 ）* 0.89 = 2,696,611,647
頭獎的稅後期望值等於（ 2,696,611,647 ／ 1,750,000 ）* 0.8 = 123.27
最終可算出，花 100 元買一張下期樂力彩的中獎期望值是 20.54 + 3.03 + 123.27 = 146.84

146.84 大於成本 100 。

期望值比成本高！有利可圖？

首先，也許有人想說，如果有能力包牌（買大約 2,209 萬張）是不是有利可圖，答案是不會，因為多買了 2,209 萬張之後頭獎的期望值會大幅降低，導致整體期望值低於 100 ，而且就算之後累積更多獎金，讓包牌期望值也能大於 100 ，風險也非常大（有第二個人中獎就會大幅虧損。）

那麼不說買這麼多到影響整體期望值，只買一張或幾張，是不是一個好的投資呢？從期望值來看，相當短的金錢時間成本（從買彩券到兌獎時間可以才一天），有 42% 的預期報酬，而且可以小額購買，應該是不錯的投資啊。

但首先要看的是報酬分布，這點應該很容易理解，威力彩的好報酬幾乎都集中在 1 ／ 2,209 萬的頭獎，以及其他機率不大的幾個大獎上，報酬的離散程度大，也就是並不是一個穩定投資，而且是虧損機率遠大於賺錢的工具。但幸好，因為它的分布方式，如果買得不多，它是一個風險有限，但獲利可能很高的工具，用「槓鈴投資」的概念來說（放小額高風險但可能高獲利的投資搭配其他穩健的配置），投資小量似乎仍然有一定的合理性。

但接下來要進一步看這個頭獎「高獲利」本身的價值，也就是如果中頭獎 27 億的實際價值和成本 100 元之間的比較。

邊際效應

也許有人會說 27 億就是 27 億，就是有 100 元的 2,700 萬倍價值，但其實不是，因為對大多數的人來說，中了 10 億和 20 億，其實對個人理財和未來生活的差異並沒有這麼大，但如果中獎 100 萬和 1,000 萬的差異，卻會對生活產生非常大的影響。這就是所謂的邊際效應的差異。對於大多數原本不是特別有錢的人來說，成本的 100 元的邊際效應，其實是比頭獎 27 億的 1 ／ 2,700 萬要大至少好幾倍。

把邊際效應算進去，就會發現，其實對大多數的人來說「威力彩的真實期望值」其實是小於當下的 100 元了，因此並不會是個合理的投資。當然如果你是那少數人，例如一生的意義就是要擁有 20 億才足以做某件自己認為有意義的大事，或是本來就是億萬富翁， 100 元的邊際效應和 20 億元差不多，那威力彩可能就會是合理的投資。

上述講的是投資工具，當然很多人買彩券其實是「娛樂」大於「投資」。如果小小的一百元（且扣掉中獎真實期望值就不到 100 元了）可以為自己和身旁的人，帶來夠多的興奮快樂的感覺，這筆消費就划得來了。

《ffaarr的投資理財部落格》授權轉載

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