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商業
我們深愛的股市，隨時間流逝，總體是向上發展的；但是你要是仔細分析，會發現基本就集中發生在那幾個零星四散、難覓蹤影的大波動的日子裡。
有一個關於投資的比喻：投資就如同戰爭之於一個小卒，絶大多數時間你要忍受百無聊賴，但在中間會穿插一個個短暫但極端的恐懼、激動與狂喜的片段。所以長期投資等於長期無聊，就完成交易動作而言每天其實是無所事事的，反正我是這樣。
不過大多數人並不甘心投資的寂寥，他們要尋找刺激，要讓每天都活出一百分。我有一位朋友是技術分析派，圖表上各種輔助線畫得飛揚。有一次我就忍不住問他 “這管用嗎？” 他對我說，“我也不蒙你，肯定不是每次都管用，但是這跟天氣預報一樣，搏個機率，次數多了，結果就對我有利。” 我接著問，“那你怎麼確定這個機率是多少？” 他回答：“主要是走個感覺。”
讀過人生贏家丹尼爾・康納曼（Daniel Kahneman）的不朽名著《快思慢想》（Thinking, Fast and Slow）的人們，一定記得書中談到人類有兩套思維系統：系統 1 和 系統 2。系統 1 比較直覺化，速度快、反應好、省力經濟環保，但對複雜問題常常給出豬隊友的表現，錯誤連篇；系統 2 比較理性化，速度相對慢、相對耗力，但能處理複雜的計算，且準確率較高。
康納曼的這套理論雖然看起來很簡潔清爽，但有幾十年的大量研究做支持，我還是蠻吃他那一套的。面對複雜問題時，系統 2 都未必能勝任，但是我們有時居然相信系統 1（直覺或感覺）反而能夠有作為，我表示很懷疑。
順便說一句，如果你還沒讀過《快思慢想》，那建議趕緊去找來一閲，這本書被中央情報局（CIA）評為必讀中的必讀，溢美之詞已無可復加。
僅憑直覺很難對複雜系統做出準確的機率判斷。比如我有一個朋友，打算舉家去法國旅行，花了不少錢訂機票、訂旅館，萬事具備，結果在出發時，前方傳來巴黎恐襲的噩耗（2015 年 11 月那次）。他與老婆商量後果斷放棄旅行計劃，損失不少錢。
這個決定從感情上我完全理解，但從理性上我實在不能苟合，一個人在一年內死於恐襲的機率大約是 2,000 萬分之一，比起恐怖分子，一個人更有可能被自己家裡的傢俱給傷害。就算在恐襲風險較高的法國，死於此禍的機率也僅僅是 500 萬分之一，而且恐襲發生後安保一般會加強，其實此時你反而會更安全。但是無論數字給了你怎樣的真相，直覺上你會感到此行兇多吉少，為了 “保住” 一家老小的卿卿性命，取消旅行居然成了唯一政治正確的選擇——不然老婆要怪你不顧她的生死了。
既然說到生與死這種淒美深沉的話題，那就再來聊一下飛機失事之下人的存活機率。我們大多數人直覺一般是：飛機失事那肯定是九死一生，但根據美國國家運輸安全委員會（NTSB）的數據，從 1983 年到 2000 年，美國共有 53,487 人次捲入飛行事故，其中有 51,207 人次生還，生還率高達 95.7%；即使在最慘烈的墜機事故裡，生還率也有 76.6%。
所以當年在英國航空的 9 號班機上（詳見英國航空 9 號班機事故），當你聽到機長對你輕描淡寫地說：“親愛的乘客朋友們，我們遇到了一點小問題，我們所有的四個引擎都不轉了”，你應該保持鎮定，你活下去的機會很大。當時大家正飛在一萬公尺以上的高空，引擎全 down 的飛機開始了淒美的滑翔——但結局 “居然” 是機上所有乘客全部生還。
有人可能會說你上面這些機率問題，都沒有給我充分訊息，我當然估不準，但是很多時候即使給了你所有訊息，大多數人的直覺仍然還是無能為力。
比如一個班裡有 50 個學生，其中竟然有兩個學生是同月同日生，八卦一點的同學們可能會起鬨說 “天命所歸你們在一起吧”，搞得這件事好像是個奇蹟；但事實上只要隨便選 23 個人，就有大於 50% 的機率有兩個人的生日是同一天；如果增加到 30 個人，機率能提高到 70%；你僅僅需要 70 個人就可以把機率提高到令人窒息的 99.9%。
即使你知道了所有的訊息，你的直覺還是幾乎無法對機率做準確的判斷，我們再用幾個案例來說明一下。
三門問題（Monty Hall Problem）
三門問題為波普文化搞得路人皆知，不過作為 “你的直覺面對機率問題有多麼得不準” 的典型，就算神秘感盡喪，我還是想在這裡講一下。
問題是這樣的：假設你參加某個電視比賽並且問鼎，你現在面對三扇門，而你的獎品就在門後但是你看不到。已知其中一扇門的後面是一輛瑪莎拉蒂（Maserati），另外兩扇門的後面各是一隻燒雞，主持人說你只能選一扇門（主持人知道門後的底細），於是你眼睛一閉祈禱蒼旻，然後隨機選了左邊那扇門。此時中間那扇門被主持人打開，你看到後面是只燒雞；那麼問題來了，這個時候主持人問你：你換不換門？
大多數人回答是不換——沒有意義啊，剩下兩扇門，猜中瑪莎拉蒂的可能性對半開，那換不換有什麼意義呢？做人要堅持到底，不換。
但是你用數學理性來想一想，應該是要換的。因為一開始你猜對的可能性只有 1／3，而反面（猜錯）的可能性是 2／3，從左門換到右門你其實把勝率從 1／3 提高到了 2／3；至於一扇門已經被打開裡面是一隻燒雞——這是一個不重要的干擾條件，因為無論一開始你猜對還是猜錯，我都可以打開一扇裡面有燒雞的門。
三門問題答錯不可恥，這個問題甚至曾經亂了一些數學家的心。我聽說有些人怎麼想也想不通，於是就寫了個代碼去跑模擬，模擬結果告訴他們殘酷的現實：你不換的勝率是 1／3，你換門的勝率是 2／3。
我知道肯定還是有很多人沒明白。
那我們換個思路，現在不是三扇門了，而是三千扇門，你選中了一扇，然後知道底細的主持人故意打開了 2,998 扇後面有火雞的門，此時他問你，換不換？
我的數學 PhD 朋友對三門問題給了一個非常清爽的解釋：「三門問題，其實只是要算出選擇 “換” 而獲勝的機率。下列分情況討論：若第一步已經選中了瑪莎拉蒂，此事件機率為 1／3，如果換則必輸；若第一步選中了燒雞，此事件機率為 2／3，如果換則必贏。綜合以上，換門策略獲勝的機率為 2／3。」我認為這個解釋非常有數學的美感。
彭尼的遊戲（Penney’s Game）
三門問題僅僅是個熱身，然後我們來看看這個投硬幣的彭尼遊戲。
先鋪墊一下，如果我扔一個硬幣七次，那麼得到 “正正正正正正正” 和得到 “正反正反反反正” 的機率哪個大？知道賭徒謬誤（gambler’s fallacy）的人應該會自信地回答 “機率是一樣的”，耶！你答對了。
那麼我跟你玩一個遊戲，我們扔一枚公平無私的硬幣，不停扔並且記錄是正面朝上還是反面朝上，如果先出現 “反反正” 這個排列順序算你贏，但如果出現 “正反反” 這個順序算我贏，你覺得遊戲公平嗎？
大多數人躲過了 “賭徒謬誤” 的理性人可能會認為這是一個公平的遊戲；如果你覺得公平那我們就實際玩一下，但我事實上有 75% 的機率能贏你。
你說那我要 “正反反”，好我答應，只不過我要改一下選擇，我要選“正正反”，同意嗎？如果同意我們就可以再玩一下，我大概有 2／3 的機率能贏你。如果你選 “正正反”，我就選 “反正正”，我又有 75% 的勝率；如果你選 “反正正”，我就選 “反反正”，我又有 2／3 的勝率；如果你選 “反反正” 的話……因果報應啊，這不就又回到了遊戲的最一開始嗎？
就像是一個剪刀石頭布的大吃小循環，“反反正” 能吃 “反正正”、“反正正” 能吃 “正正反”、“正正反” 能吃 “正反反”、“正反反” 又能吃 “反反正”，你看這是有套路的。只不過根據大多數人的直覺思維，這都是什麼呀？不都應該是一樣的機率嗎？
你仔細去計算一下，機率絶對不一樣。我們回到最一開始你選 “反反正”、我選“正反反” 的這個局裡，事實上一旦硬幣投出了一個正面，你就再也贏不了我了。
星期二的男嬰問題（Tuesday Boy Problem）
星期二的男嬰問題有個熱身版本：已知史密斯夫婦有兩個嬰兒，其中至少有一個是男嬰，那請問這兩個都是男嬰的可能性？ （我們假設生男生女的可能性各為 50%）
直覺會告訴大多數人——其中一個已經是男嬰，但這個條件和第二個嬰兒是男是女沒有關係，是獨立事件啊，所以他們會得出都是男嬰的可能性為 1／2。但其實我們可以排列組合一下，根據兩個嬰兒的出生順序，就有 “男女”、“女男”、“男男”、“女女” 四種等機率的組合。其中 “至少有一個男嬰” 的條件排除了 “女女” 這種可能，所以 “男男” 的機率應該是 1／3。
熱身版學過一些排列組合機率論都能做出來，但是後面這個升級版就稍微有點變態了，稍微改一下問題：已知史密斯夫婦有兩個嬰兒，其中一個男嬰出生在禮拜二，請問這兩個嬰兒都是男嬰的可能性？
多數人肯定會說，還是 1／3 啊，出不出生在禮拜二有什麼關係？但事實，加了 “禮拜二” 這個條件，都是男嬰的可能性便從 1／3 增加到了 13／27。我賣個關子，這裡就不鋪張出來算了，有興趣的可以用 “窮盡法” 試一試。如果你答錯了也不必沮喪，這個問題曾經在一個數學家匯聚的研討會上被人拿出來說，大多數的數學家也只不過是對其付之一笑而已——他們也覺得星期二有什麼關係。
還有一個很毀滅三觀的結論，你對問題中的那個男孩的描述越是詳細（比如現在不僅僅是星期二了，我們加個條件為 “生日是 2000 年 1 月 4 日”） ，你得到的答案就越是接近於 1／2。你看人的直覺對於機率的判斷有多麼不可靠，哪怕是具有專業素養的數學家。
起訴者謬誤（Prosecutor’s Fallacy）
生活中我們常有這種感慨 ——不怕你不知，就怕不知道自己不知，更怕知一點皮毛而自以為全知。以直覺化的機率論作為名義，而行的無比罪惡之事屢見不鮮。
在英國曾經有個官司，有個叫 Sally Clark 的律師，她的兩個兒子被發現接連死於嬰兒猝死症（SIDS）。由於一般而言小孩 SIDS 而死的機率其實不高，警方就懷疑是謀殺，而 Clark 是唯一的嫌疑人。在法庭上，有個學了點統計的兒童醫學泰斗提供專家證言說，一個富裕家庭裡小孩 SIDS 的機率大概是 1／8,500，所以他認為兩個小孩連續 SIDS 機率就是 1／8,500 的平方，也就是 7,300 萬分之一。
或許是擔心陪審團無法把握這個機率之可怕，他還補充了一句——這事大概全英國一百年只能發生一次。很顯然這泰斗的證言實在太逗，他把兩次 SIDS 當作了獨立事件——因為只有獨立事件才能將機率相乘。但是一個家庭裡發生 SIDS 完全可能不獨立啊——比如可能是某種神秘基因在作祟呢。
但泰斗充滿了人格感染力，最後陪審團裁決 Clark 有罪。事後英國皇家統計學會覺得智商受到了莫大的侮辱，於是他們聲明泰斗的證言毫無統計學基礎。雖然三年後上訴法院推翻了這個裁決，但是飽受牢獄之苦的 Clark 再也回不去了，最後結局是酗酒而亡。
冒充統計學家的還有媒體。當泰斗得出兩次 SIDS 機率為 7,300 萬分之一的結論後，媒體頗為自信地撰文說 Clark 肯定就是罪犯——因為無罪的機率只有 7,300 萬分之一，那有罪的機率就是 72,999,999／73,000,000。
這是又一次統計學與法理學被一群絶對的外行給羞辱的惡行——這邏輯就等於說 “你中了彩票，但你一定是作弊；因為中彩票的可能性僅僅是 100 萬分之一，所以你有 999,999／1,000,000 的機率是在作弊。” 這個可恥的邏輯被稱為起訴者謬誤，這也是人的直覺非常容易犯的一種錯誤。
結語
上面列舉的這幾個頭腦大保健已經算是非常仁慈了，我們能知道解題所需的幾乎所有條件與訊息，但你仍然情不自禁地要給出錯誤的答案。
至於那個讓我們魂牽夢繞的資本市場，他不得比這些紛繁複雜、光怪陸離甚於千萬倍啊！但是面對這樣的一頭怪獸，我們居然總認為秀出自己的系統 1 是可以成功破題的，這種不自量力學名叫做過度樂觀偏差。
至於我們應該怎麼做？《快思慢想》中談到，我們只能妥協。首先要意識到在哪些情況下我們最有可能犯錯（也就是各種偏誤發作之時），並有意識地儘量避免或者少犯這些錯誤。如果做不到這一點，那我們也至少應該擷取《路加福音》裡樸實的大智慧，讓系統 1 的歸系統 1，讓系統 2 的歸系統 2 ，千萬不要彼此亂穿越。
《雪球》授權轉載
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