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投資
股票投資中一個經典的問題是：我到底需要持有多少檔股票？是集中持股，還是分散持股？學過經濟學的朋友都知道，邊際效用遞減理論。
其實持股組合的數量也是遵循這個理論，在理想 (股神) 的狀態下，我們加入的每檔股票，能夠為這個組合帶來更好的效用，也就是增加回報並且減小波動率。但是天下沒有免費的午餐，沒有人能做到無止境地添加高邊際效用的股票。
投資組合是建立在一支支股票之上的，為了更好的回答持股數量的問題，我們必須先看看持有單檔股票的風險。而投資單個股票的風險可以從單個股票的歷史收益分佈看出，比如股票 A，在 10 年的時間內，漲了或者跌了多少？而大盤同期漲了跌了多少？另外，選取的股票數量要足夠多，比如 2000 檔股票以上的分佈，才有一定的代表意義。
過度分散投資 — 回報下降
我們在美股市場上，將測試時間分成了 2 部分，第一部分是從 1980 年至 1997 年，第二部分是從 1998 年至 2015 年。比如，在 1979 年 12 月 31 日，我們選取了市場上市值最大的前 3000 檔股票，作為開始的股票池，然後計算這些股票在 1980 年 1 月 1 日至 1997 年 12 月 31 的總超額收益。
舉個例子，股票 A 在 1 月份漲了 10%，而大盤 (羅素 3000 指數回報) 漲了 4%，那麼這檔股票當月相對於大盤的超額收益就是 6%。按照此方式，我們在每個月，計算每檔股票的超額收益，然後在限定的時間段內，計算每檔股票的總超額收益。有了這些所有的超額收益後，我們就可以畫分佈圖了。
橫軸為總超額收益水平，從負 100% 到 400% 以上，縱軸為分佈比率。從圖我們可以看出：
- 有 57% 的股票在 1980 年至 1997 年內都沒有跑贏大盤！相似的，有 54% 的股票在 1998 年至 2015 年內都沒有跑贏大盤！
- 1980 年至 1997 年， 只有區區 15% 左右的股票大幅跑贏了大盤 (累計漲幅超過大盤 100%) ！在 1998 年至 2015 年， 只有區區 18% 左右的股票大幅跑贏了大盤 (累計漲幅超過大盤 100%) ！
從歷史數據上看，股票跑不跑得贏大盤的機率並不是 50／50 對半分，而是更偏向於跑輸大盤。而且尾部風險尤其明顯，有 18% 左右的股票，跑輸大盤超過 75% 。拋開跑不跑得贏大盤不說，只要是投資，就會有下跌風險。 為了更加直接地揭示單檔股票的風險，我們又計算了這 3000 檔股票 5 年期的最大跌幅。
橫軸為 5 年期最大跌幅水平，從負 100% 到 0%，縱軸為分佈比率。讓我們看看這些讓人不寒而慄的數據：
- 1980 年至 1997 年，有 58% 的股票，跌幅曾經超過 50%，
- 在 1998 年至 2015 年年間，有超過 86% 的股票曾經跌幅超過 50%！
這意味著什麼？這意味著過度的分散投資可能會增加投資風險：如果你隨意的增加持股數量，很有可能加入的就是一檔跑不贏大盤的股票。這不僅會增加跑輸大盤的機率，還會增加整個持股組合的最大跌幅。
過度集中持股 — 風險高
那反過來，如果我們減少持股數量，集中持股，能不能增加投資組合的效用呢？
我們又進行了一組測試。在同樣的時間段內，每個月，我們選取市值最大的 1000 檔股票，在每一個持股數量限定中 (5、10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、150、200、300、350、400、500 檔) ，分別進行 3000 次隨機選擇。
比如，1980 年 1 月 1 月，在 1000 檔市值最大的股票池中， 隨機選擇出 300 檔股票，按照等權重組成一個投資組合併得到這個組合當月的回報，這樣重複 3000 次，一直測試到 2015 年 12 月。最大的模擬次數為 500 檔股票 × 3000 次 × 37 年 × 12 個月 = 6 億 6600 萬檔。
隨著持股數量的下降，整個投資組合波動率會明顯地上升，這不難理解。但是，隨著持股數量的下降，年化收益率也在下降！我們前面說過，如果在投資組合中任意添加一檔股票，你很有可能加入的是一個垃圾股。但是，隨意地減少持股組合，也並不能增強投資收益。減法也不行，加法也不行，你要是怎樣！？
怎麼辦？如何解決這個問題？
“Diversification is protection against ignorance. It makes very little sense for those who know what they’re doing.” — 巴菲特
股神就是霸氣：如果你知道你在做什麼，你就不需要分散投資。 沒錯，分散是無知者的罪，如果能力強，就不需要分散投資。
這裡的重點是，你需要能力強，你需要知道自己在做什麼，換句話說，就是你得有鑒別好壞股票的能力。那麼市場上那麼多股票，如何能鑑別？
隨著訊息化程度越來越高，股票市場在短時間的基本是有效的。而每個人的知識和精力都是有限的，市場上 3000 檔股票中，如何能找出有投資價值的一檔或者是一籃子股票？是從醫藥產業開始選？還是化工業？還是消費品？我們認為，使用量化模型是較好的出路。
之前的文章，引起了很多爭論。其中有些朋友講到，量化是紙上談兵，是刻舟求劍。其實，我們強調的量化，是方法論，而不是世界觀。方法論就是通過歷史的數據和量化的手段，回溯歷史上幾十年甚至幾百年的數據，其目的是為了透過現象，尋找本質。
雖然歷史不能代表未來，但是，歷史數據，已經是我們能夠得到的最好的參照物。如果一個投資理念和策略，不能夠通過歷史的數據來模擬和檢測，那麼投資人如何能夠客觀地去鑒別這個理念和策略的好壞？當你面對某個基金經理，他只能拿出來幾個月的不管是實盤還是回測數據，你如何能相信他？
之前寫的 2 篇價值股文章，目的不是為了告訴大家，僅僅通過幾個估值指標，就能賺大錢。而是想要通過量化的手段和真實的歷史數據，把價值投資的理念 (低估值＋高質量) ，進行歸因分析，讓投資人更好的理解價值投資，從而更加清楚的認識，價值投資到底是在投什麼。
通過一定的估值指標，能夠量化地分出價值被低估的股票，而系統性地購買價值被低估的股票可以獲得超額收益。那麼回到我們這篇文章中，使用量化手段來發掘價值股，就是一種投資人能夠獲得的投資能力。
我們下面在價值股的基礎上，做一個測試。
分散和集中，要在系統性的框架之下
我們還是遵循模擬的規則，只是這次我們細分了開始的股票池。我們在這市值最大的 1000 檔股票裡， 按照企業價值倍數高低將它們分成 2 組，每月初始的股票為企業價值倍數 (EV／EBITDA) 最低的前 500 檔股票 (價值股) 。
每一個月，在這 500 檔股票裡，我們在每一個持股數量限定中 (5、10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、150、200、300、350、400、500) ，分別進行 3000 次隨機選擇。
通過企業倍數的甄別，這些隨機選擇的股票組合的年化收益率明顯地高於普通的股票，而這些價值股組合的波動率卻並沒有高於普通股票組合。可是問題來了，就算是在價值股股票裡隨機選擇，隨著持股組合的下降，年化收益率也會下降。
系統性投資框架 + 適度持股 = 跑贏大盤
所以到底什麼是投資能力？這裡解決的只是 Garbage in – Garbage out 的問題。我們在 1000 檔股票裡，去除了 500 檔弱勢股票，但是在這之後，我們只進行了隨機選擇。
而真正的能力，按照邏輯，應該是從市場上這 1000 檔股票中，層層篩選，剝離分析，最後得到一籃子精選的股票。也就是說，這個選擇的方式是漸進的，而不是隨機的。
為了驗證這個結論。我們在價值股的基礎上做了另外一個測試。同樣的在每個月初，我們只在企業價值倍數最低的前 500 檔股票做選擇。不同的是，我們不再隨機組合成 5 檔或者 500 檔股票，我們在這 500 檔價值股股票裡，按照企業價值倍數高低，漸進式地選取最低的前 1 檔、前 5 檔、前 10 檔，一直到前 500 檔。
可以看出，隨著持股數量下降，資產組合的預期回報收益率和波動率 (風險) 都會上升。其中波動率上升速度較快，當持股數量下降到 20 以下時，投資組合的波動率會大幅上升。而預期回報的成長速度，並沒有波動率的成長速度快。
世界上沒有免費的午餐，就算是遵循一定的投資規則，也不能無限制的增加整個投資組合的效用。衡量投資效用的夏普比率，在資產組合數量降至 20 以下時，呈現了斷崖式的下降。
夏普比率在 20 檔股票以上的時候，都比較穩定。其最高值出現在在 250 檔到 350 檔股票之間，平均值為 0.94，市場同期為 0.62。如果投資人非常注重夏普比率，那麼選擇 300 檔股票左右，比較合理。
但是，在 300 檔股票的時候，預期年化收益率只有 16%，相比，在只有 20-50 檔股票的時候，預期年化收益率平均為 18%，但這時的夏普比率平均為0.90。
從長期投資的角度來看，2% 的年化收益率差距，在 20 年的時間內，會為投資人多賺取近 49% 的回報。夏普比率衡量的是回報和風險間效用，如果你真的能承受高風險，夏普比率就顯得不那麼重要了。另外 0.90 和 0.94 的差距，在長期來看，基本可以忽略不計。
投資大師本班傑明·葛拉漢 (Benjamin Graham) 的結論相符。在他的大作《智慧型股票投資人 (The intelligent investor) 》一書中，明確的寫到：10 到 30 檔左右的股票，是一個比較理想的投資組合。很多學術論文也從實際數據上支持這一結論， 比如 Dr. Elton 和 Dr. Gruber 的 “Risk Reduction and Portfolio Size: An Analytical Solution”，其中介紹到 30-50檔股票是一個較為平衡的選擇。
寫在最後
過於激進的投資組合，比如 10 檔股票以下，都會大大降低投資人風險調整後收益，造成得不償失的結果。而過於分散的投資組合，雖然可以為投資人提供更為分散的風險，但卻會犧牲一些預期回報。
如果你想要戰勝大盤，你的持股數量和組合就必須跟大盤不一樣。然而根據歷史的股票收益率分佈，任意地增加和減少持股組合，都會增加這個組合跑不贏大盤的機率，而且會增加這個組合的波動率和最大跌幅。
那麼投資人在決定持股數量和組合的時候，就必須使用能夠增加組合贏面的股票。投資人可以通過量化的手段，根據一定的模型和投資風格，從市場上幾千檔股票中精選出一籃子股票。在系統性的投資框架和體系裏，降低投資組合數量，相對集中投資，才有意義。
這樣集中持有平均一籃子 20 至 50 檔股票，一方面能增加跑贏大盤的機率和提高預期收益，另一方面還能控制投資組合的波動率，為投資人提供較好的經風險調整後收益。
《雪球》授權轉載
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